कधीच पूर्ण वर्ग असणार नाही अशी राशी निवडा ज्यात n ही नैसर्गिक संख्या आहे. (a) 5n – 1 (b) 5n + 1 (c) 8n + 1 (d) 3n + 1 पर्यायी उत्तरे :

स्पष्टीकरण

कोणतीही राशी कधीच पूर्ण वर्ग (perfect square) होणार नाही असे म्हणता येत नाही, कारण n ची योग्य निसर्गिक संख्या निवडल्यास प्रत्येक दिलेली राशी पूर्ण वर्ग होऊ शकते. (a) 5n – 1: जर n = 1 तर 5(1) – 1 = 4 = 2², जो पूर्ण वर्ग आहे. (b) 5n + 1: जर n = 5 तर 5(5) + 1 = 26 (पूर्ण वर्ग नाही), पण n = 0 (शून्य नैसर्गिक संख्या मानल्यास) किंवा n = 8 तर 5(8) + 1 = 41 (पूर्ण वर्ग नाही), तथापि n चे अनेक मूल्य काढल्यास हे कधी ना कधी पूर्ण वर्ग होते; उदाहरणार्थ n = 1 तर 6 (नाही), पण असे मूल्य शोधणे शक्य आहे. (c) 8n + 1: जर n = 1 तर 8(1) + 1 = 9 = 3², जो पूर्ण वर्ग आहे. (d) 3n + 1: जर n = 1 तर 3(1) + 1 = 4 = 2², जो पूर्ण वर्ग आहे. प्रत्येक राशीसाठी n ची काही विशिष्ट मूल्ये अशी आहेत की ती पूर्ण वर्ग देतात, म्हणून 'कधीच पूर्ण वर्ग होणार नाही' असे एकही राशीबद्दल म्हणता येणार नाही. उत्तर म्हणजे 'एकही नाही' हे योग्य आहे.